Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 by Ina Kersten

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Zu zeigen: u = 0 Es ist u=u+0=0+u nach 2. =⇒ u = 0 3 =⇒ 1 Sei u1 + u2 = 0. Zu zeigen u1 = u2 = 0 Da u1 + u 2 = 0 =⇒ =⇒ u1 = −u2 ∈ U2 u1 = 0 =⇒ =⇒ u1 ∈ U1 ∩ U2 u2 = 0 Definition. • Seien U1 , U2 Teilr¨aume eines K-Vektorraumes. Dann heißt die Summe U1 + U2 die (innere) direkte Summe von U1 und U2 , falls eine der Bedingungen (und damit alle) aus obigem Satz erf¨ ullt sind. 8 Ubungsaufgaben 7 – 11 33 • Seien V1 , V2 beliebige K-Vektorr¨aume. Wir definieren die (¨ außere) direkte Summe als V1 ⊕ V2 := {(v1 , v2 ) | v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 } mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.

0) , e2 = (0, 1, 0, . . , 0) , . . , en = (0, 0, . . , 0, 1) eine Basis von K n . Sie heißt die Standardbasis des K n . 6 gezeigt, ist B ein Erzeugendensystem von ❘2 . Zu zeigen bleibt die lineare Unabh¨ angigkeit. 3 sehen werden. 6 wissen wir, dass B = {(−3, 3), (1, −1)} kein Erzeugendensystem und damit auch keine Basis des ❘2 ist. Die Vektoren v1 und v2 sind wegen v1 +3v2 = 0 linear abh¨angig. 4 werden wir sehen, dass zwei linear unabh¨angige Vektoren in ❘2 stets eine Basis von ❘2 bilden.

Wt } eine Basis von U2 bilden folgt λi = 0 f¨ ur 1 ur 1 j t. Damit ist B linear unabh¨angig und bildet i r und µj = 0 f¨ eine Basis von U1 + U2 . Es folgt dimK (U1 + U2 ) = r + s + t = (r + s) + (r + t) − r = dimK U1 + dimK U2 − dimK (U1 ∩ U2 ) Lernerfolgstest. 2 f¨ ur m = 2 ? • Wie wird die Existenz einer Basis und der Basiserg¨ anzungssatz bewiesen? • Referieren Sie, wieso in einem endlich erzeugten K-Vektorraum je zwei Basen dieselbe Anzahl von Elementen haben. • Aufgaben 12–19, im Aufgabenpool Abschnitt 3.

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