Algebra und Zahlentheorie by Wilhelm Specht (auth.), Dr. M. Deuring, Dr. G. Köthe (eds.)

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J. Schoenberg, Duke Math. Journal2, 84-94 (1936); N. Obreschkoff, Jahresber. DMV. 33, 52-64 (1924). 40, 8 Algebraische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten Die genaue Anzahl der reellen Nullstellen eines reellen Polynoms f(z) in einem vorgegebenen Intervall cx < z < ß bestimmt der Satz von Man bildet zu diesem Zwecke zum Polynom f(z), von dem 0. angenommen wird, daß es keine mehrfache Nullstellen besitze, eine Sturmsehe Kette, d. h. eine Folge reeller Polynome Sturm 108 ). mit folgenden Eigenschaften: I.

Norm. sup. (3) 24, 179-201 (1907). 81) Bull. Amer. Math. Soc. 13, 443-447 (1907). 82) Math. Arm. 65, 413---423 (1908). 83) Arm. Ec. norm. sup. (3) 40, 1-34 (1933). 8, 33 12. Das Problem von Landau-Montel vom Grade n mindestens p Nullstellen in einem Kreisbereich lz I< RP besitzt, dessen Radius RP = RP (a0 , av ... , aP; k) nur von den ersten Koeffizienten und der Anzahl k der nachfolgenden Glieder abhängt. Noch weitergehend ist der nachfolgende Satz von P. Montel und R. Ballieu 84 ): Sind f(z) und g(z) komplexe Polynome der Grade 0 < p < q und bezeichnet 0 < m 1 < m 2 < ...

R sind. Insbesondere existiert das Wurzelmaß v(C) jeder Stelle C der Ebene. 134) Ann. of Math. (II) 51, 105-119 (1950). Vgl. auch Proceedings Akad. Wet. Amsterdam 51, 1146-1154 (1948). 135) W. Specht, Math. Nachr. 4, 126-149 (1950). 20. R in W. Es besteht die Gleichung N(W) = j w v(C)d'. L. Finzel1 36 ) hat diese Untersuchungen auf das reelle Gebiet übertragen. Weiterhin muß noch auf Untersuchungen hingewiesen werden, die die Koeffizienten eines reellen Polynoms als Zufallsvariablen deuten und unter gewissen Verteilungsannahmen den Erwartungswert für die Anzahl der reellen Nullstellen (in Abhängigkeit vom Grade n) asymptotisch bestimmen 137 ).

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