Algebra Through Practice: Volume 6, Rings, Fields and by T. S. Blyth, E. F. Robertson

By T. S. Blyth, E. F. Robertson

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A Course in Algebra

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Damit gilt b|a. Ist b|a, so gibt es ein c ∈ R mit a = bc. Damit ist a ∈ (b), also ist ra ∈ (b) für jedes r ∈ R und damit (a) = {ra : r ∈ R} ⊂ (b) . 2. Aus a|b folgt b = ad mit d ∈ R und aus b|a folgt a = cb für c ∈ R. 2 Sätze und Beweise 43 also a (cd − 1) = 0. Es folgt also entweder a = 0 oder cd = 1. Ist a = 0 so muss aber b = 0 gelten und die Aussage ist dann klar. Auch im anderen Fall ist c wegen cd = 1 eine Einheit. Gilt andererseits a = cb mit c ∈ R∗ , so gilt zunächst b|a. Wählen wir nun d ∈ R mit cd = 1, so gilt b = cdb = da, also auch a|b.

F. Modler, M. 2 (irreduzibel, prim) Sei R ein Integritätsring, a, b, p ∈ R. Wir sagen, dass a ein Teiler von b ist (oder auch „a teilt b“), geschrieben a|b, wenn es ein c ∈ R mit ac = b gibt. Wir nennen a und b assoziiert und schreiben dafür a ∼ b, wenn a|b und b|a gilt. Wir nennen p Primelement, wenn p = 0, p ∈ / R∗ und für alle a, b ∈ R gilt p|ab ⇒ p|a oder p|b. Wir nennen p irreduzibel, wenn p = 0, p ∈ / R∗ gilt und aus p = ab folgt, dass entweder a oder b eine Einheit ist. 3 (größter gemeinsamer Teiler) Sei R ein Integritätsring und a, b ∈ R.

Der Funktionswert von h auf dieser Äquivalenzklasse ist durch die obige Vorschrift also nicht widerspruchsfrei festgelegt. 16 über Faktorgruppen: Ist U eine Untergruppe von G, so ist es natürlich sehr naheliegend, auf G/U eine Verknüpfung durch ab := ab definieren zu wollen. Um zwei Äquivalenzklassen in G/U miteinander zu verknüpfen, verknüpfen wir einfach zwei zugehörige Repräsentanten in G und nehmen dann vom Ergebnis wieder die Äquivalenzklasse. Beispiel 16 Betrachten wir als konkretes Beispiel hierfür wieder die Menge Z/10Z, so würden wir also die Addition gerne von Z auf Z/10Z übertragen wollen, indem wir zum Beispiel 6 + 8 = 6 + 8 = 14 = 4 rechnen, also genau wie bei einer Addition ohne Übertrag.

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