Algebra, 3. Auflage by Ernst Kunz

By Ernst Kunz

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Spinors, Clifford, and Cayley Algebras (Interdisciplinary Mathematics Series Vol 7)

Hermann R. Spinors, Clifford and Cayley algebras (Math Sci Press, 1974)(ISBN 0915692066)(600dpi)(T)(280s)_MAr_

A Course in Algebra

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Es gibt allerdings Beispiele von Integritatsringen mit Teilerkettensatz, in denen die Zerlegung nicht fur alle Elemente in diesem Sinne eindeutig ist (s. Aufg. 16)). Um Eindeutigkeit zu erzwingen, benotigt man eine Verscharfung des Begri s eines irreduziblen Elements. Definition: Ein Element p 2 R n f0g hei t Primelement, wenn p 2= E (R) ist und wenn fur alle a; b 2 R gilt: Aus pja b folgt pja oder pjb . 21) zu folgern. Der Beweis ist nichttrivial: Faktorielle Ringe 39 Angenommen, es gibt eine Primzahl p und Zahlen a; b 2 Z mit p - a , p - b , aber pjab .

Es ist klar, da dies eine notwendige Bedingung ist. 29 g = a b + + anbn (b ; : : : ; bn 2 Z ) Es ist dann (b b0 ; : : : ; bn b0 ) eine Losung der Gleichung. IV. Polynomringe uber faktoriellen Ringen Es ist ein wichtiges Thema der Algebra zu ermitteln, welche Eigenschaften eines Rings R sich auf den Polynomring R X ] vererben. Satz. Ist p ein Primelement eines Rings R , dann ist p auch in R X ] ein Primelement. Beweis: Es ist klar, da p auch in R X ] keine Einheit ist. Ferner teilt p genau dann ein Polynom f 2 R X ], wenn p alle Koe zienten von f teilt.

Dann ist cm 6= 0, denn andernfalls konnte man das Polynom durch X teilen und erhielte ein Polynom kleineren Grades mit der Nullstelle y . Aus der Gleichung ym + c1ym 1 + + cm = 0 ergibt sich dann die folgende Formel fur das Inverse von y 1 = 1 (ym 1 + c ym 2 + + c ) (2) 1 m 1 y cm und man sieht, da y1 2 K~ . Korollar. Ist x : K ] = n , so gilt K (x) = K + Kx + ist algebraisch. d. Beispiel: Ist K ein Teilkorper von C , a 2 K und x = a , so ist 1 falls x 2 K 2 falls x 2= K Wenn umgekehrt L C ein Erweiterungskorper von K ist mit L : K ] = 2, dann entsteht L aus K durch Adjunktion einer Quadratwurzel.

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